变速箱是汽车的核心部件之一，负责控制发动机输出功率的转动方式，调整车速和牵引力。变速箱齿轮是变速箱中最重要的部件之一，承载着传递动力、减速和换档的重要任务。当变速箱齿轮出现故障时，将会影响车辆的正常行驶和动力输出。因此，对变速箱齿轮的故障进行及时检查和维修是非常重要的。

一、检查变速箱齿轮故障的常见方法：

1.听声音判断：启动引擎，将换档杆处于空档状态，踩下离合器，观察是否有异常噪音，例如金属摩擦声、连接处松动声等。如果有异常噪音，很可能是齿轮啮合不良或者齿轮磨损。

2.感受振动：在行驶过程中，如果感到方向盘或座位有明显的振动，很可能是变速箱齿轮出现了故障。出现振动可能是齿轮损坏或者齿轮轴承故障导致。

3.观察漏油：检查车辆底盘是否有变速箱漏油的现象。如果有漏油的情况，很可能是变速箱的齿轮轴承密封圈磨损或损坏导致。

4.检查换挡异常：如果在换档时感觉不顺畅或者无法换上挡，很可能是齿轮同步器或者齿轮齿条故障。

二、维修变速箱齿轮故障的方法：

1.更换齿轮：如果齿轮损坏严重，无法修复，就需要更换新的齿轮。将车辆抬起，拆下变速箱，找到故障的齿轮，用专用工具进行拆卸和更换，然后重新组装变速箱。

2.磨损修复：如果齿轮的磨损程度不是很严重，可以借助专用工具进行磨损修复。首先，将变速箱拆下，找到故障齿轮，使用磨架和砂轮进行修复。修复过程中需要保持齿轮的形状和尺寸的准确性。修复完成后，重新组装变速箱。

3.更换轴承：如果齿轮轴承故障导致问题，需要将变速箱拆下，找到故障轴承，并使用专用工具进行拆卸和更换。更换轴承后，重新组装变速箱。

4.调整齿轮间隙：如果齿轮啮合不良导致故障，需要进行齿轮间隙的调整。调整过程需要使用专用工具和测量仪器，确保齿轮之间的间隙符合规范要求。调整完成后，重新组装变速箱。

三、维护和预防变速箱齿轮故障的方法：

1.定期更换变速箱油：变速箱油是变速箱正常运行的重要保障，定期更换变速箱油可以有效减少齿轮磨损和故障的发生。

2.避免过度载荷：长时间、重负荷的行驶会给变速箱齿轮造成过度压力，容易引起齿轮磨损和故障。避免过度载荷的行驶可以延长变速箱齿轮的使用寿命。

3.注意换挡技巧：换挡时要顺畅、平稳，避免急刹车或者换挡不及时，避免不必要的冲击和压力对齿轮的损伤。

4.定期检查和维护：定期检查变速箱并进行维护保养，例如检查换档杆和离合器的连杆是否松动，检查连接处是否有漏油等，有助于发现问题并及时处理。

综上所述，检查和维修变速箱齿轮故障需要通过听声音、感受振动、观察漏油和检查换挡异常等方法进行判断与诊断。针对不同的故障情况，可以采取更换齿轮、磨损修复、更换轴承和调整齿轮间隙等维修方法。同时，通过定期更换变速箱油、避免过度载荷、注意换挡技巧以及定期检查和维护，可以预防和减少变速箱齿轮故障的发生。